Statistiques, suites et probabilités

D'après un sujet de bac.

Dans le cadre d'une étude sur le brochet (espèce de poisson), des scientifiques ont récolté des données. La croissance observée, en centimètres, suivant l’âge est indiquée dans le tableau ci-dessous.

La longévité de l’espèce (âge maximal) est évaluée à neuf années. Très nombreux à la naissance, les brochets se font plus rares à l’âge adulte, les spécimens très âgés devenant exceptionnels. Ainsi sur \(1~000\) brochets qui viennent de naître, seuls \(10\) parviendront à l’âge de \(8\) ans. 

Partie A

1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique, avec les unités suivantes : 

• en abscisses : âge, \(2\) cm pour \(1\).
• en ordonnées : taille, \(1\) cm pour \(10\).
  

2. Un ajustement affine semble-t-il envisageable ? Justifier.

3. On admet que la droite d'équation \(y = 9{,}8x +14{,}4\) constitue une bonne modélisation de la taille du brochet en fonction de son âge. Tracer cette droite sur le graphique.

4. a. Résoudre algébriquement l’inéquation \(9{,}8x + 14{,}4 > 200\).
    b. Est-il vraisemblable qu’un brochet dont la taille dépasse \(200\) centimètres puisse être observé ?

5. a. Résoudre graphiquement l’équation \(9{,}8x +14{,}4 = 100\).
    b. En déduire l’âge d’un brochet mesurant \(100\) centimètres. (On donnera la valeur entière la plus proche et on laissera apparents les traits de construction.)

Partie B

On souhaite construire un tableau indiquant le nombre de brochets \(U_n\) présents dans un lac, en fonction de leur âge \(n\), en adoptant comme modèle une suite géométrique décroissante de raison \(q = 0{,}565\) et de premier terme \(U_0 = 1~000\).

1. Calculer les nombres \(U_1\) et \(U_2\) (on donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche).

2. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les résultats seront arrondis à l’entier le plus proche.

3. On pêche un des \(1~291\) brochets, âgés de un an et plus, présents dans le lac. On suppose que tous ont la même probabilité d’être capturés.
    a. Pour une bonne gestion piscicole, on ne peut conserver, après capture, qu’un poisson âgé de quatre ans et plus. On capture un brochet : quelle probabilité a-t-on de le garder ? (On donnera un résultat à un dixième près.)
    b. Montrer que la probabilité de capturer un poisson dont la taille est d'un mètre est d’environ \(5\) sur \(1~000\).